「将军饮马」是初中几何中最具代表性的最值模型之一。该模型讨论的问题是：在给定角 ∠AOB 内有一定点 P，在角两边 OA、OB 上各取一点 M、N，使三角形 PMN 的周长最小。其解法基于轴对称变换，最小值可表示为两对称点连线的长度。
▍ 一、模型与作法
由于 M、N 为双动点，周长由三段折线构成，直接讨论较为困难。标准作法分三步：先作点 P 关于 OA 的对称点 P₁，再作点 P 关于 OB 的对称点 P₂，连接 P₁P₂。该连线与 OA、OB 的交点即为所求的 M 与 N，此时三角形 PMN 的周长最小，最小值为线段 P₁P₂ 的长度。
▍ 二、原理证明
由轴对称性质可得 PM=P₁M、PN=P₂N，因此三角形周长可改写为 P₁M+MN+NP₂。依据“两点之间线段最短”，当 P₁、M、N、P₂ 四点共线时该和取得最小值，即 P₁P₂。这一证明思路体现了最值问题中“化折为直”的核心方法。
▍ 三、衍生结论与特殊角
由对称性可进一步推出：OP₁=OP₂=OP，∠P₁OP₂=2∠AOB，∠MPN=180°−2∠AOB。据此可得常见特殊角的固定结论：∠AOB 为 30° 时 △OP₁P₂ 为正三角形，P₁P₂=OP；45° 时为等腰直角三角形，P₁P₂=√2·OP；60° 时 P₁P₂=√3·OP。通式为 P₁P₂=2·OP·sin∠AOB。
▍ 四、教学启示
教育业内人士表示，将军饮马模型的价值在于示范了最值问题的通用路径：通过几何变换将动点问题静态化、将折线和转化为直线段，再利用基本不等关系求解。这一思想可迁移至造桥选址、费马点等后续模型的学习。相关教研资料已将问题、作法、证明与特例结论整理为体系化讲义，便于学生系统掌握。
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整理自天津优诺培优李慧亮老师、周浩老师分享
