量子概率离不开概率本身一项新分析表明，所有主流的玻恩规则推导，都依赖一个概率性前提。
约翰·德布罗塔（慕尼黑大学数学哲学中心）｜2026 年 10 月 13 日
Carin Cain / APS
图 1：在推导玻恩规则所需的关键要素中，张佳轩（Jiaxuan Zhang）指出，可加性在已有推导中不可或缺。
量子力学的概率，会不会有确定性的来源？人们之所以想用非概率的方式解释量子概率，正是对那个著名的"测量难题"的一种回应：为什么量子系统在被观测之前，演化是连续而确定的；一旦被观测，就变成不连续、随机的？概率只出现在量子理论的一条公设里，也就是玻恩规则。如果能在一开始就不引入任何概率前提，就把玻恩规则推导出来，那就提供了一条诱人的路径去解决测量难题——测量的随机性将得到一个非随机的解释。
然而，英国牛津大学研究生张佳轩（音译）（Jiaxuan Zhang）的一项新分析显示，在玻恩规则的每一次主流推导中，都有一个特定的概率性前提不可或缺，这给上述希望蒙上了根本性的怀疑。
玻恩规则把物理系统的量子态、以及代表某次测量的算符，转换成各个可能结果出现的概率。由于它是标准形式体系中唯一出现概率的地方，它处在争论的中心：自然界是否提供了内在的不确定性来源？很大一部分物理学家倾向于哥本哈根诠释，这一诠释与尼尔斯·玻尔、维尔纳·海森堡等量子理论奠基人联系在一起。许多接受哥本哈根及其相关观点的人，预期不确定性是不可还原的，理由在于量子测量从根本上不同于经典意义上的测量；这一类人并不指望不确定性会在进一步拆解公设时消失。相比之下，另一大类诠释——也许最好以多世界诠释（MWI）为代表——把不确定性看作一种不完美，认为可以通过更完备的理解把它磨掉；对这一类人来说，一旦引入概率，就需要进一步的解释。
尽管有人仍抱有希望，认为单靠量子理论那些非概率的公设就足以推导出玻恩规则，但所有现存的推导都额外引入了假设。不过，多世界诠释及相关观点的支持者会很乐意看到，有一组公设可以完全不带概率。几十年来积累了许多推导，它们源自不同的物理直觉；有些公然是概率性的，另一些则声称弱化甚至消除了对概率的依赖。这些推导动用了许多微妙不同的公设，使得相互比较十分困难。眼下最需要的，不是再添一个推导，而是分析现有推导究竟共有什么——这正是张佳轩所做的。
她的思路起点是一个观察：玻恩规则推导中常用的几个假设，作者们往往没有把它们清楚区分开，这种混淆会掩盖概率在推导中的来源。通过更仔细地审视底层假设，张佳轩找出了已有方法中的混乱之处，并分离出某次推导真正必需的东西。
任何玻恩规则的推导，都是把一组假设（公设）施加到一个可能规则的大域上，直到除一条之外其余规则全被排除。由于张佳轩的目的是诊断哪些公设对得出量子概率是必需的，她并不预设任何先前的概率结构。相反，为了表示一次测量，她用一个函数，把量子态和测量算符（代表某个特定结果的数学对象）映射到一个实数。接着她证明，在玻恩规则推导中常见的三个关于函数的假设——可加性、非语境性、归一化——在逻辑上是相互独立的（图 1）。
可加性要求：互斥的若干选项的总值，等于它们各自数值之和。非语境性是指，某个结果的值不随测量语境而改变，比如不随测量本身的性质、也不随同时做了哪些别的测量而改变。归一化是一条标度规则，把所有可能结果的总值定为 1。
在这三者中，对任何可数集合的相容测量算符的可加性，承担了概率方面的主要重担；而且与归一化或非语境性不同，它被认为是一条本质上概率性的公设。更重要的是，标准论证表明，可加性是为互斥选项的不确定性做自洽量化所必须的。概率是出于必然才是可加的，而归一化只是出于约定；并且正如张佳轩澄清的，可加性与任何非语境性假设都无关。因此，任何企图从非概率公设推导出玻恩规则的希望，都必须去"推导"可加性，而不是把它当作假设。可是张佳轩证明，在所有主流推导中，可数可加性都是不可或缺的，再弱的形式都不行。
想要绕开可加性的尝试，要么是不知不觉地通过某些其实更强的假设重新引入它，要么是通过埋在其他假设里的可加性形式隐式地依赖它。例如，法布里齐奥·洛吉乌拉托和奥古斯托·斯梅尔齐用过的一个假设——张佳轩称之为"强归一化"——实际上等价于同时假设归一化和可加性。反过来，她又证明，单是可加性并不蕴含任何形式的非语境性；这一点的混淆之所以产生，是因为人们常把一种更强的非语境性形式与可加性一起隐式地假设了。
在厘清了定义之后，张佳轩分析了跨越三种推导策略的五次主流玻恩规则推导。在格利森（Gleason）型的推导中，可数可加性是明摆着被假设的。在多伊奇（Deutsch）型的推导中——包括戴维·多伊奇本人的原始推导，以及沃伊切赫·祖雷克试图纯粹从对称性和纠缠的物理原理给出玻恩规则的推导——可数可加性被证明是必需的。多伊奇的决断论推导隐式地假设了它，而祖雷克的尝试则用了一种显式弱化了的可加性假设；然而这种弱化无法让概率在数学上保持平滑，会允许破坏玻恩规则的乱跳。最后，芬克尔斯坦—哈特尔（Finkelstein–Hartle）型的推导被证明是不自洽的，除非把可数可加性作为公设加进去。
我们似乎很难再看到一种推导，能不显式或隐式地依赖一条本质上概率性的公设而得出玻恩规则。事实上，张佳轩认为她的结果支持这样一种观点：应该引入额外的、概率性的公设来推导玻恩规则。当然，目前还没有给出任何不可能性证明；而把可加性指认为那个看似必需的公设，或许能为不再依赖它的新尝试提供线索。尽管如此，那些以测量和概率为中心的诠释的拥护者，也许会把这个结果看作一种印证：没有人能不先在某处放进概率内容，就从另一端取出概率内容。
参考文献
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关于作者
约翰·德布罗塔 2020 年于麻省大学波士顿分校获应用物理博士学位，2020 至 2022 年在塔夫茨大学做博士后，2022 至 2025 年在新墨西哥大学量子信息与控制中心做博士后，现为慕尼黑大学数学哲学中心博士后，研究聚焦于量子贝叶斯（QBism）这一把智能体的行动与经验视为理论核心关切的诠释。
