对于封闭量子系统，含时薛定谔方程描述波函数的演化：
对于封闭的物理系统，哈密顿量必须是厄米算符：
1.纯态密度算符
对于纯态，密度算符定义为：
对时间求导。由于它是两个含时量的乘积，需要使用乘积求导法则：
将波函数公式带入，可得：
化简得到冯·诺依曼方程：
2.混合态密度算符
对于混合态，密度算符为：
² pn表示系统处于∣ψn⟩的统计概率；
² pn≥0；
²
如果每个∣ψn⟩都在相同哈密顿量下满足薛定谔方程，并且pn不随时间变化，则：
因此，
因此冯·诺依曼方程不仅适用于纯态，也适用于封闭系统的混合态。
但是，如果概率pn因环境作用而改变，或者系统存在自发辐射和退相干，则仅使用冯·诺依曼方程不够，需要加入Lindblad项。
3.密度矩阵元形式
选取一组基底{∣i⟩}，密度矩阵元定义为
从冯·诺依曼方程出发
左右分别乘上⟨i∣和∣j⟩
在中间插入完备性关系
第一项为
第二项为
因此
举例：以三能级系统为例，哈密顿量表示为
因此
如果再加入中间态自发辐射引起的相干衰减
就得到Lindblad主方程中的完整结果，与第一章第四部分结果一致：
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